গণিত সমস্যার সমাধান: ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা

এখানে অনুশলনী ১৬.২ এর কিছু গাণিতিক সমস্যার বিস্তারিত সমাধান দেওয়া হলো। প্রতিটি ধাপ পরিষ্কারভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে যাতে শিক্ষার্থীরা সহজেই বুঝতে পারে এবং পরীক্ষায় পূর্ণ নম্বর পেতে পারে।

---

অনুশীলনী ১৬.২

১. একটি আয়তাকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, আয়তাকারক্ষেত্রের প্রস্থ = $x$ মিটার।

তাহলে, আয়তাকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = $2x$ মিটার।

আয়তাকারক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

প্রশ্নমতে, $2x \times x = 512$

$2x^2 = 512$

$x^2 = \frac{512}{2}$

$x^2 = 256$

$x = \sqrt{256}$

$x = 16$

সুতরাং, প্রস্থ = 16 মিটার

দৈর্ঘ্য = $2 \times 16 = 32$ মিটার

আয়তাকারক্ষেত্রের পরিসীমা = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$

$= 2 \times (32 + 16)$

$= 2 \times 48$

$= 96$ মিটার

উত্তর: আয়তাকারক্ষেত্রের পরিসীমা 96 মিটার।

---

২. একটি জমির দৈর্ঘ্য 80 মিটার এবং প্রস্থ 60 মিটার। ঐ জমির মাঝে একটি পুকুর খনন করা হলো। যদি পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার 4 মিটার হয়, তবে পুকুরের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

জমির দৈর্ঘ্য = 80 মিটার

জমির প্রস্থ = 60 মিটার

জমির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

$= 80 \times 60$

$= 4800$ বর্গমিটার

পুকুরের প্রত্যেক পাড়ের বিস্তার = 4 মিটার।

পুকুরটি জমির মাঝে খনন করা হয়েছে, তাই পাড় বাদ দিলে পুকুরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পাওয়া যাবে।

পুকুরের দৈর্ঘ্য = জমির দৈর্ঘ্য - $2 \times \text{পাড়ের বিস্তার}$

$= 80 - (2 \times 4)$

$= 80 - 8$

$= 72$ মিটার

পুকুরের প্রস্থ = জমির প্রস্থ - $2 \times \text{পাড়ের বিস্তার}$

$= 60 - (2 \times 4)$

$= 60 - 8$

$= 52$ মিটার

পুকুরের ক্ষেত্রফল = পুকুরের দৈর্ঘ্য $\times$ পুকুরের প্রস্থ

$= 72 \times 52$

$= 3744$ বর্গমিটার

উত্তর: পুকুরের ক্ষেত্রফল 3744 বর্গমিটার।

---

৩. একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 40 মিটার এবং প্রস্থ 30 মিটার। বাগানের ভিতরে সমান পাড় বিশিষ্ট একটি পুকুর আছে। পুকুরের ক্ষেত্রফল বাগানের ক্ষেত্রফলের $\frac{1}{2}$ অংশ হলে, পুকুরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধান:

বাগানের দৈর্ঘ্য = 40 মিটার

বাগানের প্রস্থ = 30 মিটার

বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

$= 40 \times 30$

$= 1200$ বর্গমিটার

পুকুরের ক্ষেত্রফল = বাগানের ক্ষেত্রফলের $\frac{1}{2}$ অংশ

$= 1200 \times \frac{1}{2}$

$= 600$ বর্গমিটার

ধরি, পুকুরের পাড়ের বিস্তার = $x$ মিটার।

তাহলে, পুকুরের দৈর্ঘ্য = বাগানের দৈর্ঘ্য - $2 \times \text{পাড়ের বিস্তার}$

$= (40 - 2x)$ মিটার

পুকুরের প্রস্থ = বাগানের প্রস্থ - $2 \times \text{পাড়ের বিস্তার}$

$= (30 - 2x)$ মিটার

পুকুরের ক্ষেত্রফল = পুকুরের দৈর্ঘ্য $\times$ পুকুরের প্রস্থ

$(40 - 2x)(30 - 2x) = 600$

$1200 - 80x - 60x + 4x^2 = 600$

$4x^2 - 140x + 1200 - 600 = 0$

$4x^2 - 140x + 600 = 0$

উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই,

$x^2 - 35x + 150 = 0$

মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:

$x^2 - 30x - 5x + 150 = 0$

$x(x - 30) - 5(x - 30) = 0$

$(x - 30)(x - 5) = 0$

হয় $x - 30 = 0$ অথবা $x - 5 = 0$

$x = 30$ অথবা $x = 5$

যদি পাড়ের বিস্তার $x = 30$ হয়, তবে পুকুরের প্রস্থ $30 - 2 \times 30 = 30 - 60 = -30$ মিটার হবে, যা সম্ভব নয়।

সুতরাং, পাড়ের বিস্তার $x = 5$ মিটার।

পুকুরের দৈর্ঘ্য = $40 - (2 \times 5) = 40 - 10 = 30$ মিটার

পুকুরের প্রস্থ = $30 - (2 \times 5) = 30 - 10 = 20$ মিটার

উত্তর: পুকুরের দৈর্ঘ্য 30 মিটার এবং প্রস্থ 20 মিটার।

---

৪. একটি বর্গাকার মাঠের বাইরে চারদিকে 5 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল 500 বর্গমিটার হলে, মাঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, বর্গাকার মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ মিটার।

মাঠের ক্ষেত্রফল = $a^2$ বর্গমিটার।

রাস্তার বিস্তার = 5 মিটার।

রাস্তাসহ মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $a + (2 \times 5)$

$= (a + 10)$ মিটার।

রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল = $(a + 10)^2$ বর্গমিটার।

রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল) - (মাঠের ক্ষেত্রফল)

প্রশ্নমতে, $(a + 10)^2 - a^2 = 500$

$a^2 + 2 \times a \times 10 + 10^2 - a^2 = 500$

$a^2 + 20a + 100 - a^2 = 500$

$20a + 100 = 500$

$20a = 500 - 100$

$20a = 400$

$a = \frac{400}{20}$

$a = 20$

সুতরাং, মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 20 মিটার।

মাঠের ক্ষেত্রফল = $a^2 = 20^2 = 400$ বর্গমিটার।

উত্তর: মাঠের ক্ষেত্রফল 400 বর্গমিটার।

---

৫. একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ এবং ক্ষেত্রফল 768 বর্গমিটার। প্রতি 40 সে.মি. বর্গাকার পাথর দিয়ে বর্গক্ষেত্রটি বাঁধাতে মোট কয়টি পাথর লাগবে?

সমাধান:

ধাপ ১: আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয়

ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = $x$ মিটার।

দৈর্ঘ্য = $3x$ মিটার।

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

প্রশ্নমতে, $3x \times x = 768$

$3x^2 = 768$

$x^2 = \frac{768}{3}$

$x^2 = 256$

$x = \sqrt{256}$

$x = 16$

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = 16 মিটার

আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = $3 \times 16 = 48$ মিটার

ধাপ ২: আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়

আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$

$= 2 \times (48 + 16)$

$= 2 \times 64$

$= 128$ মিটার

ধাপ ৩: বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয়

প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 128 মিটার।

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $4 \times \text{এক বাহুর দৈর্ঘ্য}$

ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $b$ মিটার।

$4b = 128$

$b = \frac{128}{4}$

$b = 32$ মিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $b^2 = 32^2 = 1024$ বর্গমিটার।

ধাপ ৪: পাথরের সংখ্যা নির্ণয়

পাথরের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 40 সে.মি.

মিটার এককে প্রকাশ করলে, 40 সে.মি. = $\frac{40}{100}$ মিটার = 0.4 মিটার।

একটি পাথরের ক্ষেত্রফল = $(0.4)^2 = 0.16$ বর্গমিটার।

মোট পাথরের সংখ্যা = $\frac{\text{বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল}}{\text{একটি পাথরের ক্ষেত্রফল}}$

$= \frac{1024}{0.16}$

$= \frac{1024}{\frac{16}{100}}$

$= 1024 \times \frac{100}{16}$

$= 64 \times 100$

$= 6400$ টি

উত্তর: মোট 6400 টি পাথর লাগবে।

---

৬. একটি আয়তাকারক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 160 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, আয়তাকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = $L$ মিটার এবং প্রস্থ = $W$ মিটার।

প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল $L \times W = 160$ ------ (i)

যদি দৈর্ঘ্য 6 মিটার কম হয়, তবে ক্ষেত্রটি বর্গাকার হয়।

তার মানে, পরিবর্তিত দৈর্ঘ্য = প্রস্থ

$L - 6 = W$ ------ (ii)

এখন (ii) নং সমীকরণ থেকে $W$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$L \times (L - 6) = 160$

$L^2 - 6L = 160$

$L^2 - 6L - 160 = 0$

মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:

$L^2 - 16L + 10L - 160 = 0$

$L(L - 16) + 10(L - 16) = 0$

$(L - 16)(L + 10) = 0$

হয় $L - 16 = 0$ অথবা $L + 10 = 0$

$L = 16$ অথবা $L = -10$

দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই $L = 16$ মিটার।

এখন $L$ এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে $W$ এর মান পাই:

$W = L - 6$

$W = 16 - 6$

$W = 10$ মিটার

উত্তর: আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 16 মিটার এবং প্রস্থ 10 মিটার।

<।

---

অনুশীলনী-১৬.২

৯. একটি সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার $\frac{3}{4}$ অংশ এবং ক্ষেত্রফল 363 বর্গমিটার হলে, ক্ষেত্রটি ভূমি ও উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, সামান্তরিকের উচ্চতা = $h$ মিটার।

তাহলে, সামান্তরিকের ভূমি = $\frac{3}{4}h$ মিটার।

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি $\times$ উচ্চতা

প্রশ্নমতে, $\frac{3}{4}h \times h = 363$

$\frac{3}{4}h^2 = 363$

$3h^2 = 363 \times 4$

$3h^2 = 1452$

$h^2 = \frac{1452}{3}$

$h^2 = 484$

$h = \sqrt{484}$

$h = 22$

সুতরাং, উচ্চতা = 22 মিটার।

ভূমি = $\frac{3}{4} \times 22 = \frac{66}{4} = 16.5$ মিটার।

উত্তর: সামান্তরিকের ভূমি 16.5 মিটার এবং উচ্চতা 22 মিটার।

---

১০. একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল একটি বর্গক্ষেত্রের সমান। সামান্তরিকের ভূমি 125 মিটার এবং উচ্চতা 5 মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান:

সামান্তরিকের ভূমি = 125 মিটার

সামান্তরিকের উচ্চতা = 5 মিটার

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি $\times$ উচ্চতা

$= 125 \times 5$

$= 625$ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = 625 বর্গমিটার।

ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ মিটার।

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $a^2$

$a^2 = 625$

$a = \sqrt{625}$

$a = 25$

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 25 মিটার।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{2} \times \text{এক বাহুর দৈর্ঘ্য}$

$= \sqrt{2} \times 25$

$= 25\sqrt{2}$ মিটার

প্রায়, $25 \times 1.414 = 35.35$ মিটার।

উত্তর: বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য $25\sqrt{2}$ মিটার (প্রায় 35.35 মিটার)।

---

১১. একটি সামান্তরিকের বাহুর দৈর্ঘ্য 30 সে.মি. এবং 26 সে.মি.। এর ক্ষুদ্রতম কর্ণটি 28 সে.মি. হলে অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, সামান্তরিকের বাহুগুলো হলো $a = 30$ সে.মি. এবং $b = 26$ সে.মি.।

ক্ষুদ্রতম কর্ণ $d_1 = 28$ সে.মি.।

অপর কর্ণটি $d_2$ নির্ণয় করতে হবে।

সামান্তরিকের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সূত্রটি হলো:

$2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2$

মান বসিয়ে পাই:

$2(30^2 + 26^2) = 28^2 + d_2^2$

$2(900 + 676) = 784 + d_2^2$

$2(1576) = 784 + d_2^2$

$3152 = 784 + d_2^2$

$d_2^2 = 3152 - 784$

$d_2^2 = 2368$

$d_2 = \sqrt{2368}$

$d_2 \approx 48.66$

উত্তর: অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য প্রায় 48.66 সে.মি.।

---

১২. একটি রম্বসের পরিসীমা 180 সে.মি. এবং এর ক্ষুদ্রতম কর্ণটি 54 সে.মি.। এর অপর কর্ণ এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধাপ ১: রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়

রম্বসের পরিসীমা = 180 সে.মি.।

রম্বসের চারটি বাহু সমান, তাই রম্বসের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $\frac{\text{পরিসীমা}}{4}$

$= \frac{180}{4} = 45$ সে.মি.।

ধাপ ২: অপর কর্ণ নির্ণয়

রম্বসের কর্ণগুলো পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

ধরি, রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য $a = 45$ সে.মি.।

ক্ষুদ্রতম কর্ণ $d_1 = 54$ সে.মি.।

তাহলে, ক্ষুদ্রতম কর্ণের অর্ধেক $\frac{d_1}{2} = \frac{54}{2} = 27$ সে.মি.।

ধরি, অপর কর্ণ $d_2$।

তাহলে, অপর কর্ণের অর্ধেক $\frac{d_2}{2}$।

রম্বসের একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$45^2 = 27^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$2025 = 729 + (\frac{d_2}{2})^2$

$(\frac{d_2}{2})^2 = 2025 - 729$

$(\frac{d_2}{2})^2 = 1296$

$\frac{d_2}{2} = \sqrt{1296}$

$\frac{d_2}{2} = 36$

$d_2 = 36 \times 2 = 72$ সে.মি.।

সুতরাং, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য = 72 সে.মি.।

ধাপ ৩: রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$

$= \frac{1}{2} \times 54 \times 72$

$= 27 \times 72$

$= 1944$ বর্গ সে.মি.।

উত্তর: রম্বসের অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 72 সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল 1944 বর্গ সে.মি.।

---

১৩. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর 8 সে.মি. এবং এদের লম্ব দূরত্ব 24 সে.মি.। যদি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 312 বর্গ সে.মি. হয় তবে বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুটি হলো $a$ সে.মি. এবং $b$ সে.মি.।

ধরি, $a > b$।

সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যের অন্তর = $a - b = 8$ সে.মি. ------ (i)

লম্ব দূরত্ব (উচ্চতা) $h = 24$ সে.মি.।

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 312 বর্গ সে.মি.।

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফলের সূত্র: $\frac{1}{2} \times (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল}) \times \text{উচ্চতা}$

প্রশ্নমতে, $\frac{1}{2} \times (a + b) \times h = 312$

$\frac{1}{2} \times (a + b) \times 24 = 312$

$12 \times (a + b) = 312$

$a + b = \frac{312}{12}$

$a + b = 26$ সে.মি. ------ (ii)

এখন (i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:

$(a - b) + (a + b) = 8 + 26$

$2a = 34$

$a = \frac{34}{2}$

$a = 17$

$a$ এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$17 + b = 26$

$b = 26 - 17$

$b = 9$

উত্তর: ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য 17 সে.মি. এবং 9 সে.মি.।

---

১৪. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10 সে.মি. ও 12 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

আপনার দেওয়া ছবিতে এই প্রশ্নের জন্য উচ্চতা বা অন্য কোনো তথ্য দেওয়া নেই, যা ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য অপরিহার্য। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব (উচ্চতা) প্রয়োজন।

যদি প্রশ্নটি অসম্পূর্ণ হয়, তবে এটি সমাধান করা সম্ভব নয়। যদি উচ্চতা দেওয়া থাকত, তবে নিচের সূত্র ব্যবহার করা যেত:

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল}) \times \text{উচ্চতা}$

ধরি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় $a = 10$ সে.মি. এবং $b = 12$ সে.মি.।

যদি উচ্চতা $h$ সে.মি. দেওয়া থাকত, তাহলে ক্ষেত্রফল হতো:

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (10 + 12) \times h$

$= \frac{1}{2} \times 22 \times h$

$= 11h$ বর্গ সে.মি.।

এই প্রশ্নের জন্য অতিরিক্ত তথ্যের প্রয়োজন।

---

১৫. একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 1.5 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব মানে হলো এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য।

কারণ, একটি সুষম ষড়ভুজ ছয়টি সমবাহু ত্রিভুজ দ্বারা গঠিত হয়, যাদের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্বের সমান।

সুতরাং, সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a = 1.5$ মিটার।

সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র: $6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$

$= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times (1.5)^2$

$= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2.25$

$= 6 \times 0.4330127 \times 2.25$ (যেহেতু $\sqrt{3} \approx 1.73205$)

$= 6 \times 0.4330127 \times 2.25$

$= 6 \times 0.974278575$

$= 5.84567145$ বর্গমিটার (প্রায়)

উত্তর: সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল প্রায় 5.85 বর্গমিটার।

---

১৬. আয়তাকার একটি ফুলের বাগানের দৈর্ঘ্য 150 মিটার এবং প্রস্থ 100 মিটার। বাগানটিতে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 3 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে।

ক) উপরের তথ্যটি চিত্রের সাহায্যে সংক্ষিপ্ত বর্ণনা দাও।

সংক্ষিপ্ত বর্ণনা:

একটি আয়তাকার ফুলের বাগান আছে যার দৈর্ঘ্য 150 মিটার এবং প্রস্থ 100 মিটার। বাগানের ঠিক মাঝখান দিয়ে দৈর্ঘ্য বরাবর একটি 3 মিটার চওড়া রাস্তা এবং প্রস্থ বরাবর একটি 3 মিটার চওড়া রাস্তা গেছে। রাস্তা দুটি বাগানের কেন্দ্রে পরস্পরকে ছেদ করেছে।

খ) রাস্তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

বাগানের দৈর্ঘ্য $L = 150$ মিটার

বাগানের প্রস্থ $W = 100$ মিটার

রাস্তার চওড়া $w = 3$ মিটার

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ চওড়া

$= 150 \times 3 = 450$ বর্গমিটার

প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = প্রস্থ $\times$ চওড়া

$= 100 \times 3 = 300$ বর্গমিটার

রাস্তা দুটি মাঝখানে ছেদ করার কারণে একটি বর্গাকার অংশ (3 মিটার $\times$ 3 মিটার) দুবার গণনা করা হয়েছে।

ছেদকারী অংশের ক্ষেত্রফল = $3 \times 3 = 9$ বর্গমিটার।

মোট রাস্তার ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল) + (প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল) - (ছেদকারী অংশের ক্ষেত্রফল)

$= 450 + 300 - 9$

$= 750 - 9$

$= 741$ বর্গমিটার

উত্তর: রাস্তার ক্ষেত্রফল 741 বর্গমিটার।

গ) রাস্তাটি পাকা করতে 25 সে.মি. দৈর্ঘ্য এবং 12.5 সে.মি. প্রস্থবিশিষ্ট কয়টি ইটের প্রয়োজন হবে?

রাস্তার ক্ষেত্রফল = 741 বর্গমিটার।

একটি ইটের দৈর্ঘ্য = 25 সে.মি. = $\frac{25}{100}$ মিটার = 0.25 মিটার।

একটি ইটের প্রস্থ = 12.5 সে.মি. = $\frac{12.5}{100}$ মিটার = 0.125 মিটার।

একটি ইটের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

$= 0.25 \times 0.125$

$= 0.03125$ বর্গমিটার।

মোট ইটের সংখ্যা = $\frac{\text{রাস্তার ক্ষেত্রফল}}{\text{একটি ইটের ক্ষেত্রফল}}$

$= \frac{741}{0.03125}$

$= 23712$ টি

উত্তর: রাস্তাটি পাকা করতে 23712 টি ইটের প্রয়োজন হবে।

---

১৭. নিচের চিত্রের তথ্য থেকে বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

প্রদত্ত চিত্রটি একটি ট্রাপিজিয়াম।

সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য: $a = 12$ সে.মি. এবং $b = 22$ সে.মি.।

সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব (উচ্চতা) $h = 20$ সে.মি.। (চিত্রে উল্লম্ব রেখাটি উচ্চতা নির্দেশ করছে)।

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফলের সূত্র: $\frac{1}{2} \times (\text{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল}) \times \text{উচ্চতা}$

$= \frac{1}{2} \times (12 + 22) \times 20$

$= \frac{1}{2} \times 34 \times 20$

$= 17 \times 20$

$= 340$ বর্গ সে.মি.।

উত্তর: বহুভুজের (ট্রাপিজিয়ামের) ক্ষেত্রফল 340 বর্গ সে.মি.।